在高中数学中，没有一个概念的表述象函数那么形式化，让人感到如此的抽象。当专家、学者们为高中函数定义如何表述更加精确而争论不休时，函数概念教学却始终难逃“不识函数真面目，只缘身在函数中”的怪圈。具体表现为：教师能够剖析函数的定义，却无法揭示函数的实质；学生会解相关的题目，却不清楚函数到底是什么。究其原因，主要是教师对函数概念的发生、发展过程了解不够。尽管课程标准明确要求“通过丰富的实例，体会对应关系在刻画函数概念中的作用”，但这只能让学生更容易接受“集合说”，而无法从整体上揭示函数的本质。若要函数概念“大白于天下”，还应“追根溯源”。

1. 感受“时间”流逝，诞生“变量”

天地之间的万物都在运动变化着的。最吸引古人的运动莫过于“天上”的运动。白天，日出东方，傍晚日落西方，月亮升起；晚上，星空璀璨，但这些星星也是在运动的，每隔一段时间，它们的位置就会发生变化。还有，春夏秋冬，四季轮回。不仅如此，地上也是在运动的，比如，火山喷发、地震、泥石流等。当然，还有人类自身的变化，人从出生表衰老，也是一个运动变化的过程。由于这些变化都是随着时间的变化而变化的，因此，时间就是最原始的变量。古人通过对时间的感受，头脑中就逐渐形成了变量的概念。随着生产力的发展，人类观察“变量”视野不断开阔，发现生活之中处处有变量。比如，人口的数量、气温的变化、农作物的产量、城市的规模、股市波动等。

除了变量以外，还存在着相对稳定的常量。比如，某人的生日、圆周率PI、黄金分割数等还有些量有时可以是变量，有时也可以是变量。比如，人的身高，从出生到成年人的身高是在变化的，因此身高是变量；但成年后，身高就保持不变了，此时身高就是常量。又比如你到菜场买猪肉，在这一天内猪肉的价格是固定的，一斤10元，两斤20元……，因此，在这天内猪肉的价格是常量。但如果从一段时间看，猪肉的价格是在波动的，此时猪肉的价格就是变量。由此可见，静止是暂时的，运动却是永恒的！

2. 研究“变量”规律，建立“关系”

可以说，人类的进步得益于对变量的研究，进而在研究中发现了变量的变化规律。比如，对时间变量的研究，最显著的成果莫过于发明了“历法”。在古代，国家历法的先进程度决定了生产力的先进程度。在我国古代历法中，把一年划分成了24节气，目的是为了指导农业生产。比如，节气中“立春”，其实就告诉人们天气要转暖了，要开始准备农业生产了，一旦到了“春分”，农民就应该播种了。因此，人类要生存，要发展，对变量变化规律的总结是必不可少的。谁掌握了地球上变量的变化规律，谁就可以主宰地球。到底如何总结变量的变化规律呢？人们发现这些变量之间存在着某种制约关系。即一个变量的变化会引起另一个变量的变化。

比如，在商品买卖中有“暴利”一说，意思是同样数量的商品，价格越高，销售收入也越高。这种制约关系能不能用数学式子来表示呢？

首先引进一些参数，用y表示销售收入，x表示商品价格，n表示卖出的商品数量，则它们满足：y=nx。这里的n是常量，x、y是变量。这个式子显然体现了变量y随着变量x增大而增大的变化规律。

又比如，在商品买卖中还有一种说法叫“薄利多销”，意思是在保证销售收入不变的前提下，商品价格越低，卖出的数量越多。这种制约关系怎么表示呢？把上式y=nx变形为n=y/x，此时y是常量，x、n是变量。尽管这个式子是由先前的式子变过来的，但由于变量的不同，所以表达的意思完全不同。由此可见，代数式能真实地刻画变量之间的关系。

3. 提炼“关系”共性，产生“形式”

当借助代数式刻画变量之间关系逐渐被人们所接受时，人们开始提炼这类式子中所蕴含关系的共性。即这类关系包含了哪些共同的成分呢？

首先要有两个变量构成，而且一个变量的变化制约着另一个变量的变化。也就是说一个变量的值是由另一个变量的值决定的。这个两个变量一个称为自变量，另一个称为因变量。上述例子中的y=100x， x称为自变量，y的值因为x的值变化而变化的，所以y就称为因变量。

其次，既然是变化，当然有个变化的范围。对y=100x来说，x的是商品的价格，理论上x的变化范围是大于0的所有实数，y的变化范围也是大于0的所有实数。当然，y的变化范围可以由x的变化范围来确定的。如果y=100x中x的变化范围扩大到全体实数，整个式子的本质就变了，它不再是反应价格与销售收入的关系了。由此可见，看似一个简单的代数式，实际上还包含了变量变化的范围。

共性提炼完毕后，人们开始思考给这类代数式一个合适的称呼，于是“函数”的概念因运而生。人们对函数最初的理解就是一个包含变量的代数式，但后来发现这种认识并不全面，并不是所有的函数关系都能列