凭借活动经验  还原建构过程

      ------《平面向量的概念及表示》教学实录与反思

   雷成才  （江苏省仪征中学 211400）

向量是基础理学研究中推理、运算的的常用工具，是联系代数与几何的桥梁。用数学的眼光抽象出向量概念，用数学的方式表达向量，用数学的思维研究向量，这是本节课必须要解决的三大问题。掌握这一新生事物的研究方案与研究方法是我们研究其他抽象模型的基础，其整个的研究过程也可以帮助我们理解直观、抽象的作用，从而感悟到数学概念的教育价值。2019年11月，作者有幸参与了江苏省华罗庚中学的《平面向量的概念及表示》一课的研讨、录制的工作，有些想法，现整理成文，供参考。

1 教学构想

1.1教材分析

本节是苏教版高中数学必修四第二章第1节，在向量概念的教学中，要利用学生的生活经验、其他学科的相关知识，创设丰富的情境，例如生活中的指示牌，物理中的力、速度、位移等，通过这些实例使学生了解向量的实际背景、物理背景，引导学生认识向量作为描述现实问题的数学模型的作用。同时还要通过解决一些实际问题或数学问题，使学生学会用向量这一数学模型处理问题的基本方法。

加强向量与已有知识的研究经验的联系性，使学生明确研究向量的基本思路。使学生通过与实数及其运算的类比，体会研究向量的基本思路，努力揭示数学知识的产生、形成和发展的全过程。

1.2学情分析

授课对象为四星级重点高中普通班学生，有较好的知识基础，较强的运算能力，班级氛围民主，思维活跃。学生认知水平分析如下：

知识准备：学习本节之前，学生已有物理中矢量的概念，并且再前一章的《三角函数》中已经接触到了有向线段的概念，这些都为向量的学习提供了便利。

能力准备：学生具备一定的抽象、类比、归纳等主动探究能力，但合作交流的主体意识不强，有待改进。

情感准备：此时的学生仍属高一新生，求知欲强，好奇心重，期待学习新事物。

1.3教学目标

（1）了解向量来源于实际生活，理解向量的概念及表示。掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等基本概念。

（2）体会在学习过程中使用到的类比与联想，抽象与归纳的数学方法，感悟贯穿全程数形结合，特殊与一般的数学思想。

（3）在数学学习活动中，引导学生经历建构向量的过程，使学生体会数学中研究新事物的思想方法与一般路径，提升学生的数学思维水平和探究发现能力。

2 教学过程

2.1情境引入

目标一：用数学的眼光发现向量

师：同学们，如右图所示以华罗庚中学为参照点，你能描述仪征中学的位置吗？

生1：北偏西 。

师：按照你的描述就能确定仪征中学的位置吗？

生1：哦，不能，还需要指明其距离华罗庚中学 。

师：描述位置需要哪些关键要素？

生1：方向和距离，缺一不可。

师：很好，请大家思考：1、我们是否还接触过其他集方向和距离（大小）于一身的事物？

2、观察下述三个物理量，它们有什么区别？

【设计意图：通过师生问答，让学生感知到我们即将要学习的对象并非凭空而来，它就来源于实际生活和学习经历，这些因为拥有“既有大小又有方向”这一共同属性，所以被抽象出来研究，同时向量的作用也不言自明：这一工具可以同时精炼刻画大小与方向，它广泛运用于生活与学习。】

目标二：用数学的方式表达向量

师：我们获得了向量的文字概念之后，所以为研究方便，我们需学要数学地表示它。怎么表示？（学生陷入思考，教室寂静无声。）

师：向量既有大小又有方向，在表示“大小”这一方面我们有哪些可以借用的经验呢？

生2：大小用实数来刻画，可以用小写拉丁字母表示，如： 也可以在数轴上画出来。

师：向量是否和实数的表示类似，既有代数表示又有几何表示呢？能否在实数表示的基础上加上“方向”要素呢？

【设计意图：将文字语言符号化是研究数学新概念数学化的基本手段，也是让同学回忆过往的表示经验，感知向量表示的合理性，参与数学理论的建构的过程。这一环节是训练学习者类比联想能力，培育数学抽象核心素养的良好素材，不能压缩快进，直接告知。】

目标三：用数学的思维研究向量

师：如何研究向量这一新事物呢？我们能不能像刚才那样，寻得一点既往活动经验呢？

生3：有，还是从初中学习过的实数的开始。

师：想想我们当时是如何研究实数的？当时我们从特殊实数 开始再推广开去，了解了单个实数的一般情况后，再研究两实数间关系，如相等，相反等等，最后再到实数间的加减乘除运算即四则运算。那我们向量先从哪里开始研究？

生4：从特殊向量开始。

师:特殊向量，特殊在何处呢？

生4：特殊在大小和方向。

师：我们将向量 的大小称为向量的长度，或者称为模，记作 。你能先提出一些特殊向量吗？

生4：类比特殊实数 ，我认为先研究模为0和1的特殊的向量。

师：对，这两种模特殊的向量分别称为零向量和单位向量，它们的方向又是如何呢？（学生再次陷入思考，无声胜有声。趁此间隙教师在黑板上绘出几个不同方向的单位向量。）

师：它们是单位向量吗？方向如何？

生众：不确定，可以改变，人为指定等。

此时教师发现生4还站在位置上，便说道：生4，听我指令，原地向右转，向右转，再向右转…

师：同学们，刚才生4发生位移了吗？位移是什么？

同学们恍然大悟：位移为零，向量为零向量，方向任意。

【设计意图：如何按认知规律研究数学新事物，这是一个不能回避的宏大命题。若将所有类似向量这样的概念课，上成一节节数学新知的自主构建课，或许就是对这一命题的最好回应。数学活动经验重在积累，在积累中孕育素养，增长智慧，形成能力。这里所涉及到的类比联想数学方法，由特殊到一般得数学思想，重在渗透，贵在感悟，尤其零向量方向规定的合理性，需要学习者具有直观想象的核心素养。这些不能挂在嘴上，而是要落实到教学点滴中。慢下脚步，路上的美景远甚于终点。】

投影画面1：如右图：已知O为正六边形ABCDEF的中心，图中标出的三个向量是怎样的关系？

生众：平行

师：平行向量如何定义呢？

（学生尝试定义向量平行，未尽事宜由教师提点补充，但不主动干预。特别提醒勿忘零向量，并引导学生感悟规定的合理性。）

投影画面2:如右图：已知O为正六边形ABCDEF的中心，图中标出的五个向量之间除了平行关系，还有更特殊的关系吗？

生众：相等，相反，还有相交。

（继续让学生尝试定义向量相等、相反等概念，）

【设计意图：这节课概念庞杂，向量关系有实数间的关系类比联想而得，若没有循着实数活动经验这条线，很容易陷入教师全程依次陈述概念的窠臼，学生无法参与。相反的，循着这条线，学生兴趣盎然，俨然数学家，不断类比实数，不断尝试生成新知，整个过程如源头活水，自然流淌，全无突兀之感。】

目标四：向量的应用

例题一：判断

1、任一向量与它的相反向量不相等；

2、 ， ，则 ；

3、互相平行的两个单位向量相等；

4、相等向量和相反向量都是平行向量；

5、平行四边形ABCD中， ；

变式： ，则依次连结 四点构成平行四边形。

例题二：探究

在图中的4×5方格纸中有一个向量AB，分别以图中的格点为起点

和终点作向量，

（1）其中与AB相等的向量有多少个？

（2）与AB长度相等的共线向量有多少个（AB除外）？

【设计意图：判断部分留出5分钟时间，前3分钟独立思考，后2分钟小组讨论，找到争议点，师生一起辨析。合作学习，小组讨论交流是合作学习的重要形式，但不能代替独立思考和个体感悟。不为讨论而讨论，有异议才讨论。本班是重点中学普通班，学生思维活跃，思辨性好。判断部分结束时，学生对概念有了进一步的理解，开始自主探究例题二，提升其使用新知解决问题的能力。】

回顾反思

回顾这节课对向量概念的探究历程，大家能否归纳出研究数学问题的一种路线？

师：这节课结束后，我将返回仪征，但我不想走回头路，决定先从华罗庚中学（ ）到柳林镇（ ），再到镇江（ ），最后回仪征（ ），如图。

师：殊途同归，你能数学的眼光发现什么？给出你的大胆猜想。

生： 。

【设计意图：临走前的最后一问，老师不置可否，留给同学课后自己温习课本，查找答案。同时也指明下一节课的研究内容，既呼应了课前的“情境引入”又由实数类比知下面要研究向量的运算相契合，再一次引导学生迈上向量研究新征途，实现了提出问题（提出向量概念） 分析问题（研究向量概念） 解决问题（应用向量概念） 提出问题（提出向量运算）的研究闭环。】

3 教后反思

2017版《高中数学课程标准》将数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，称作“四基”，同时也将“获得数学基本活动经验”作为教育目标提出。构建主义也认为有效的学习就是以学生为中心，强调学生对知识的主动探索，主动发展和对所学知识的主动建构。至此，数学教育被看成是人类的一种充满情感、富于思考的经历体验和探索的活动。数学教学的目标，也并非单纯体现为学生接受的定义、公式、法则、定理等数学客观性事实，而更多的是通过对数学思想方法的感悟，对数学活动经验的积累，将“经验材料组织化”，“数学材料逻辑化”。所以数学教学不仅重结果，更应重过程。哪怕这些从属于学生自己个体认知特点的个人知识和数学活动经验，它是感性的、不严密的、无法量化的，但它却是最重要的，最能培养人的理性精神的。

本节凭借数学经验，如何还原构建过程，需解决如下3个问题

问题1：向量是什么？从哪里来的？

数学中的向量与物理中的矢量是同一事物在不同学科的叫法，与标量相对。学习生活中遇到具体的如位移、力、速度等与身高、体重、温度等明显不同，从具体事例中领悟向量概念的大小与方向的二元本质特征，即向量不是凭空出现的。这种数学抽象经验为以后平面向量的推广提供了基本的、具有标本意义的范式，数次推广之后，向量对象可以是任意数学对象或物理对象。这样，就可以将一般的向量研究成果与应用方法作用到广阔的自然科学和工程技术领域中去了。

问题2：向量有什么用？为什么要研究它？

向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，反过来，向量的理论和方法，又反作用于它，向量之所以有用，关键是它具有一套优良运算通性的数学体系，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题。中学课本上讨论的向量是一种带几何性质的自由向量，除零向量外，总可以画出箭头表示方向。它具有几何直观性和代数可算性，可以把坐标平面上的点、复数用向量表示出来，并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题，向量就这样自然而然地融入了数学。

问题3：向量怎么研究？有研究范式吗？

许多老师认为，“平面向量的概念及表示”一节“内容多而杂”，一节课全忙着讲解和辨析概念了，其实不然。从“概念的形成”的角度看，本节内容重要的不是向量的形式、定义及几个相关概念，而是获得数学研究对象、认识数学新对象的基本方法，其中蕴含了用数学的观点刻画和研究现实事物的方法和途径，所以这是一节带有“本源”性质的章节起始课。

在学生的已有经验中，与本节内容相关的有：数的抽象过程、实数的绝对值（线段的长度）、数的相等、0和1的特殊性、线段的平行或共线等，这些将为学生自觉地认知向量概念提供支撑。在具体学习过程中，类比数的概念获得向量的定义及表示；类比数的集合认识向量的集合；类比直线（段）的基本关系认识向量的基本关系。要使自己从中体会到认识一个数学概念的“基本套路”：从具体背景中抽象出共同本质特征——定义——表示——定义特殊元素——定义某些特殊关系。由此看来，向量概念的形成既不是一件容易的事情，但也不是一件完全无头绪的的事。与此同时，在平面向量的学习中,我们会发现实数集中的一些性质在向量中并不成立，向量就是向量，不是数。这种类比与重构在以后向量的学习中还会遇到，如向量法与解析法。这种类比，能使学生深刻体会向量研究中的思路与方法，方能将新知内化为自己的认知体系。

我们的数学课堂教学必须结合具体内容，不断解决如上三个问题：研究什么、为什么研究和怎样研究的过程，是不断提出问题、分析问题和解决问题的过程，也是让学习者在学习活动中去经历发现的过程。在这其中教师要由知识的传授者、灌输者转变为学生主动建构的引导者、帮助者。